Պյութագորասի թեորեմը

Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․

1) x²=3²+3²=18

x=√18

2) x²=10²-6²=64

x=√64=8

3) 2x²=6²=36

x²=36:2=18

x=√18

4) x²=10²-8²=36

x=√36=6

S∆=6·8/2=24

5) 12:2=6

x²=6²+10²=136

x=√136

Պյութագորասի թեորեմը

Պյութագորաս (մ.թ.ա. 570–490 թ.)՝ հույն մաթեմատիկոս և փիլիսոփա:  

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;

81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: 

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13²=12²+5²;169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ

3;4;5

6;8;10

12;16;20

5;12;13

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը՝ ըստ տրված a և b էջերի․

ա)a=6; b=8

c²=a²+b²=36+64=100

c=√100=10

բ)a=1; b=√3

c²=1+3=4

c=√4=2

2)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներքնաձիգը՝ c-ն։ Գտեք b-ն, եթե՝

ա) a=12; c=13

b²=c²-a²=169-144=25

b=√25=5

a=6; c=2b

3)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք՝

AD-ն, եթե AB=5, AC=13

BC-ն, եթե CD=1,5; AC=2,5

4)Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 17 սմ է, իսկ հիմքը՝ 16 սմ։ Գտեք հիմքին տարված բարձրությունը։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը՝ ըստ տրված a և b էջերի․

a=5; b=12

a=3/7; b=4/7

2)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներքնաձիգը՝ c-ն։ Գտեք b-ն, եթե՝

a=9; c=15

a=2; c=√5

3)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք CD-ն, եթե BD=17, BC=15:

Խնդիրներ մակերեսների վերաբերյալ

1)Տրված է ABCD զուգահեռագիծ, BH = 8 սմ, ըստ գծագրի տվյալների գտնել BK-ն։

BC=AD=10 սմ

AD·BK=48 սմ

BK=48:AD=48:10=4.8 սմ

2)Տրված է ABCD զուգահեռագիծ, ըստ գծագրի տվյալների գտնել զուգահեռագծի մակերեսը։

<B=<D=150°

<A=<C=180-150=30°

<ABE=60°

BE=6:2=3

AD=8

S=8·3=24 սմ²

3)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

<B=<A=45°

AC=BC=4 սմ

S=(4·4):2=8 սմ²

4)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

<A=180-100-50=30°

B գագաթից իջեցնենք BH բարձրություն

BH=9:2=4,5

S(ABC)=12·4,5=54 սմ²

5)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

ABH եռանկյունը հավասարասրուն է, հետևաբար AH=BH=6 սմ

AC=6+3=9 սմ

S(ABC)=(6·9):2=27 սմ²

6)Տրված է ABCD սեղան, BC:AD=2:3, BK=6 սմ, S_ABCD = 60սմ²: Գտնել BC-ն և AD-ն։

7)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

8)Տրված է ABCD սեղան, ըստ գծագրի տվյալների գտնել սեղանի մակերեսը։

Սեղանի մակերեսը

Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի և բարձրության արտադրյալին:

S=1/2(AD+BC)BH

Առաջադրանքներ․

1.ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ² է: Գտեք սեղանի մակերեսը:

2.Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30սմ² է, պարագիծը՝ 28սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3սմ: Գտեք սեղանի մեծ սրունքը:

AD+BC=(30:3)·2=10·2=20 սմ

CD=28-20-3=5 սմ

3.Գտեք այն ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135^o:

<ADC=45° => <BCD=45° => CE=ED=AB= 6 սմ

AB=BC=6 սմ

AE=BC=6 սմ

AD=6+6=12 սմ

S=1/2(12+6)·6=54 սմ²

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1.Գտեք AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,

բ) <D=30^o, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,

գ) CD⊥AD, AD=5սմ, CD=8սմ, BC=13սմ:

2.Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ²: Գտեք սեղանի բարձրությունը:

3.Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյունը 135^o է, իսկ այդ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ հիմքը տրոհում է 1,4սմ և 3,4սմ հատվածների։ Գտեք սեղանի մակերեսը։

Եռանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

1)

S1=2x·h/2=xh

S2=xh/2

S1/S2=xh:xh/2=xh·2/xh=2/1

2)

<BCD=180-135=45°

<BCD=<CBD=45°

BCD եռանկյունը հավասարասրուն է:

CD=BD=2 դմ

AD=6+2=8 դմ

S(ABD)=(2·8)/2=8 դմ²

3)

4)

5)

Եռանկյան մակերեսը

Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

Դիտարկենք ABC եռանկյունը, որում տարված է BH բարձրությունը:

S=1/2AC⋅BH

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա էջերի արտադրյալի կեսին։

Եթե երկու եռանկյունների բարձությունները հավասար են,ապա նրանց մակերեսները հարաբերում են ինչպես հիմքերը։

Առաջադրանքներ․

1)

ա) S=a·h=7·11=77սմ²

բ) h=S:a=37,8:14=2,7սմ

2)

3)

4)

5)

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

AB=BE·2=2·2=4սմ

CD=AB=4սմ

S=3·4=12սմ²

2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։

4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։

2)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60^o, <CED = 90^o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90^o , <EPT = 45^o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

Զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝

Sզուգահեռագիծ=a⋅h

Շեղանկյան մակերեսը․

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը․

Sշեղանկյուն=d1⋅d2/2

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a=15 սմ, h=12 սմ

S=15·12=180սմ²

բ)a-ն, եթե S=34 սմ² , h=8,5 սմ

a=S:h=34:8,5=4սմ

գ)h-ը, եթե S=162 սմ², a=9 սմ

h=S:a=162:9=18սմ

դ)a-ն, եթե h=1/2a, S=21a

a=

2)Զուգահեռագծի անկյունագիծը 13 սմ է և ուղղահայաց է զուգահեռագծի այն կողմին, որը 12 սմ է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3)Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են 12 սմ և 13 սմ, իսկ սուր անկյունը 30^o է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

4)Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^o ։ Գտեք շեղանկյան մակերեսը։

5)Զուգահեռագծի կողմը 8,1 սմ է, իսկ 14 սմ-ի հավասար անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30^o անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

6)Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂ -ը՝ բարձրությունները։ Գտեք՝

ա)h₂ -ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h₁ = 6 սմ, h₂ > h₁

բ)h₁ -ը, եթե a=10 սմ, b=15 սմ, h₂ =6 սմ, h₂ > h₁

գ)h₁ -ը և h₂ -ը, եթե մակերեսը՝ S=54 սմ² , a=4,5 սմ, b=6 սմ

Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

Քառակուսու պարագիծը 32 սմ է, իսկ ուղղանկյան կողմերից մեկը՝ 45 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մյուս կողմը, եթե հայտնի է, որ նրա և քառակուսու մակերեսները հավասար են։

32:4=8

8·8=64

64/45

Պատ.` 64/45սմ

Տրված է ABCD քառակուսին։ AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ <AMB=30^o, և BM=20 սմ։ Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը։

AB=BM:2=20:2=10

S=10·10=100սմ²

Անհրաժեշտ է սենյակի՝ 5,5 մ և 6 մ կողմերով ուղղանկյունաձև հատակը ծածկել մանրահատակով։ Դրա համար քանի՞ մանրահատակ կպահանջվի, եթե այդ տախտակներից յուրաքանչյուրն ունի 30 սմ երկարությամբ և 5 սմ լայնությամբ ուղղանկյան ձև։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

ABCD ուղղանկյան A անկյան կիսորդը BC կողմը հատում է K կետում։Հայտնի է, որ BK=5սմ , KC=7սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

BC=BK+KC=5+7=12 սմ

<BAC=45°, <ABC=90°, հետևաբար` <ACB=90-45=45°, հետևաբար` ABK եռանկյունը հավասարասրուն է:

AB=BK=5 սմ

S=5·12=60 սմ²

15 սմ կողմով քառակուսաձև քանի՞ սալիկ կպահանջվի, որպեսզի երեսպատվի 3մ և 2,7մ կողմերով ուղղանկյունաձև պատը։

3մ=300սմ

2,7մ=270սմ

Մակերես Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսը

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի արտադրյալին: Քառակուսու բոլոր կողմերը իրար հավասար են, այդ իսկ պատճառով նրա մակերեսը հավասար է նրա կողի քառակուսուն:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:

Մակերեսները չափելու համար օգտվում են նրանց հիմնական հատկություններից:

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2. Եթե պատկերը կազմված է մի քանի մասերից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ մասերի մակերեսների գումարին:

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝

ա)1,2 սմ

1,2·1,2=1,44սմ²

բ)3/4 դմ

¾·¾=9/16դմ²

գ)3ամբ․1/3 մ

10/3·10/3=100/9մ²

2)Ինչպե՞ս կփոխվի քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմերը՝

ա)մեծացվեն 3 անգամ

Կմեծանա 9 անգամ

բ)փոքրացվեն 2 անգամ

Կփոքրանա 4 անգամ

3)Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

2·(4x+3x)=28

2·7x=28

14x=28

x=28:14=2

4x·3x=8·6=48

S=48սմ²

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Որոշեք այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝

ա)16 սմ²

բ)25 սմ²

գ)2,25 սմ²

2)Դիցուք՝ ուղղանկյան կից կողմերն են a-ն b-ն, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a=8,5 սմ, b=3,2 սմ

բ)S-ը a=2/3 սմ, b=1,2սմ

գ)b- ն, եթե a=32 սմ, S=684 սմ²

դ)a-ն, եթե b=4,5 դմ, S=1215 սմ²

3)Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 96 սմ²։ Գտեք այդ ուղղանկյան պարագիծը։